Каждое из этих слов является производным от слова 것 (это, вещь, объект, дело):

것 = 거
것이 = 게 (в именительном падеже 이/가) 
것은 = 건 (с выделительным падежом 은/는) 
것을 = 걸 (в винительном падеже 을/를)

Полные формы слов используются в письменной речи, а сокращённые формы от данных слов используются в разговорной речи и стоят после прилагательного с окончанием определения (은/ㄴ/던/었던) или причастием:

• 먹을 것을 찾고 있어요. – Ищу что-нибудь поесть.
• 새것 – новая вещь
• 내 것 – моя вещь
• 네 것 – твоя вещь

Подробнее об определениях в корейском языке мы говорили в этой статье.

Также сократить можно и указательные местоимения:

• 이것 ⇒ 이거,
• 이것이 ⇒ 이게,
• 이것을 ⇒ 이걸,
• 이것은 ⇒ 이건 и т.д.

Примеры:

• 한국어를 공부하는 게 어려워요. – Изучение корейского языка / Изучать корейский язык сложно.
• 저거 보여주시겠어요? – Вон ту вещь покажите?
• 창문을 닫는 걸 깜빡했어요. – Я забыл закрыть окно.
• 이건 숙제가 아니에요. – Это не домашнее задание.
• 담배를 피우는 건 몸에 좋지 않아요. – Курить — плохо для организма.